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如何分析一个“排序算法”
学习排序算法，我们除了学习它的算法原理、代码实现之外，更重要的是要学会如何评价、分析一个排序算法。那分析一个排序算法，要从哪几个方面入手呢？
==排序算法的执行效率==
对于排序算法执行效率的分析，我们一般会从这几个方面来衡量：
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最好情况、最欢情况、平均情况时间复杂度
我们在分析排序算法的时间复杂度时，要分别给出最好情况、最坏情况、平均情况下的时间复杂度。除此之外，你还要说出最好、最坏时间复杂度对应的要排序的原始数据是什么样的。
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时间复杂度的系数、常数、低阶
我们知道，时间复杂度反应的是数据规模n很大的时候的一个增长趋势，所以它表示的时候会忽略系数、常数、低阶。但是实际的软件开发中，我们排序的可能是10个、100个、1000个这样规模很小的数据，所以，在对同一阶时间复杂度的排序算法性能对比的时候，我们就要把系数、常数、低阶也考虑进来。
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比较次数和交换（或移动）次数
基于比较的排序算法的执行过程，会涉及两种操作，一种是元素比较大小，另一种是元素交换或移动。所以，如果我们在分析排序算法的执行效率的时候，应该把比较次数和交换（或移动）次数也考虑进去。
==排序算法的内存消耗==
算法的内存消耗可以通过空间复杂度来衡量，排序算法也不例外。不过，针对排序算法的空间复杂度，我们还引入了一个新的概念，原地排序(Sorted in place)。原地排序算法，就是特指空间复杂度是O(1)的排序算法。
==排序算法的稳定性==
仅仅用执行效率和内存消耗来衡量排序算法的好坏是不够的。针对排序算法，我们还有一个重要的度量指标，稳定性。这个概念是说，如果待排序的序列中存在值相等的元素，经过排序之后，相等元素之间原有的先后顺序不变。
比如我们有一组数据 2，9，3，4，8，3，按照大小排序之后就是2，3，3，4，8，9。
这组数据里面的两个3。经过某种排序算法排序之后，如果两个3的前后顺序没有改变，那我们就把这种排序算法叫做稳定的排序算法；如果前后顺序发生吧电话，那对应的排序算法就叫做不稳定的排序算法。
很多人都会有疑问，两个3哪个在前哪个在后有什么关系呢？为什么要考察排序算法的稳定性呢？
很多数据结构和算法课程，在讲排序的时候，都是用整数来举例，但是在真正软件开发中，我们要排序的往往不是单纯的整数，而是一组对象，我们需要按照对象的某个key来排序。
比如说，我们现在要给电商交易系统中的“订单”排序。订单有两个属性，一个是下单时间，另一个是订单金额。如果我们现在有10万订单数据，我们希望按照金额从小到大对订单数据排序。对于金额相同的订单，我们希望按照下单时间从早到晚有序。对于这样一个排序需求，我们怎么来做呢？
最先想到的方法是：我们先按照金额对订单数据进行排序，然后，再遍历排序之后的订单数据，对于每个金额相同的小区间再按照下单时间排序。这种排序思路理解起来不难，但是实现起来会很复杂。
借助稳定排序算法，这个问题可以非常简洁的解决。解决思路是这样的：我们先按照下单时间给订单排序，注意是按照下单时间，不是金额。排序完成之后，我们用稳定排序算法，按照订单金额重新排序。两边排序之后，我们得到的订单数据就是按照金额从小到大排序，金额相同的订单按照下单时间从早到晚排序的。为什么呢？
稳定排序算法可以保持金额相同的两个对象，在排序之后的前后顺序不变。第一次排序之后，所有订单按照下单时间从早到晚有序了。第二次排序中，我们用的是稳定的排序算法，所以经过第二次排序之后，相同金额的订单仍然保持下单时间从早到晚。
冒泡排序（Bubble Sort）
冒泡排序只会操作相邻的两个数据。每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进行比较，看是否满足大小关系要求。如果不满足就让它俩交换。一次冒泡会让至少一个元素移动到它应该在的位置，重复n次，就完成了n个数据的排序工作。
比如，我们要对一组数据4，5，6，3，2，1，从小到大进行排序。第一次冒泡操作的详细过程就是这样：
可以看出，经过一次冒泡操作之后，6个元素已经存储在正确的位置上。想要完成所有数据的排序，我们只要进行6次这样的冒泡操作就行了。
实际上，刚讲的冒泡过程还可以优化。当某次冒泡操作已经没有数据交换时，说明已经达到完全有序，不用再继续执行后续的冒泡操作。这里有另外一个例子，这里面给6个元素排序，只需要4次冒泡操作就可以了。
冒泡排序的原理比较容易理解，具体代码如下：
// 冒泡排序，a表示数组，n表示数组大小
public void bubbleSort(int[] a, int n) {
if (n <= 1) return;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
// 提前退出冒泡循环的标志位
boolean flag = false;
for (int j = 0; j < n - i - 1; ++j) {
if (a[j] > a[j+1]) { // 交换
int tmp = a[j];
a[j] = a[j+1];
a[j+1] = tmp;
flag = true; // 表示有数据交换
}
}
if (!flag) break; // 没有数据交换，提前退出
}
}结合刚才分析排序算法的三个方面，产生了三个问题。
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冒泡排序是原地排序算法吗？
冒泡的过程只涉及相邻数据的交换操作，只需要一个常量级的临时空间，所以它的空间复杂度是O(1)，是一个原地排序算法。
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冒泡排序是稳定的排序算法吗？
在冒泡排序中，只有交换才可以改变两个元素的前后顺序。为了保证冒泡排序算法的稳定性，当有相邻的两个元素大小想等的时候，我们不做交换，相同大小的数据在排序前后不会改变顺序，所以冒泡是稳定的排序算法。
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冒泡排序的时间复杂度是多少？
最好情况下，要排序的数据已经是有序的了，我们只需要进行一次冒泡操作，就可以结束了，所以最好情况时间复杂度是O(n)。而最坏的情况是，要排序的数据刚好是倒序排列的，我们需要进行n次冒泡操作，所以最欢情况时间复杂度为O(n²)。
最好、最坏情况下的时间复杂度很容易分析，那平均情况下的时间复杂度是多少呢？我们前面讲过，平均时间复杂度就是加权平均期望时间复杂度，分析的时候要结合概率论的知识。
对于包含n个数据的数组，这n个数据就有 n! 种排列方式。不同的排列方式，冒泡排序执行的时间肯定是不同的。比如前面举的那两个例子，其中一个要进行6次冒泡，而另一个只需要4次。如果用概率论定量分析平均时间复杂度，涉及的数据推理和计算就会很复杂。我们这里还有一种思路，通过“有序度”和“逆序度”这两个概念来进行分析。
有序度是数组中具有有序关系的元素对的个数。有序元素对用数学表达式表示就是这样：
有序元素对：a[i] <= a[j]，如果i < j
同理，对于一个倒序排序的数组，比如6，5，4，3，2，1，有序度是0；对于一个完全有序的数组，比如1，2，3，4，5，6，有序度就是 n*(n-1)/2，也就是15.我们把这种完全有序的数组的有序度叫做满有序度。
逆序度的定义正好跟有序度相反（默认从小到大为有序）
逆序元素对：a[i] > a[j], 如果i < j。关于这三个概念，我们还可以得到一个公式，逆序度 = 满有序度 - 有序度。我们排序的过程就是一种增加有序度，减少逆序度的过程，最后达到满有序度，就说明排序完成了。
我们拿前面举的那个冒泡排序的例子来说，要排序的数组的初始状态是4，5，6，3，2，1，其中，有序元素对有（4，5）（4，6）（5，6），所以有序度是3。n=6，所以排序完成之后终态的满有序度为 n*(n-1)/2=15。
冒泡排序包含两个操作原子，比较和交换。每交换一次，有序度就加1.不管算法怎么改进，交换次数是确定的，即为逆序度，也就是n*(n-1)/2-初始有序度，此例中就是15-3=12，要进行12次交换操作。
对于包含n个数据的数组进行冒泡排序，平均交换次数是多少呢？最坏情况下，初始状态的有序度是0，所以要进行 n(n-1)/2 次交换。最好情况下，初始状态的有序度是 n(n-1)/2，就不需要进行交换。我们可以取个中间值 n*(n-1)/4，来表示初始有序度既不是很高也不是很低的平均情况。
换句话说，平均情况下，需要 n*(n-1)/4 次交换操作，比较操作肯定要比交换操作多，而时复杂度上线是 O(n²)，所以平均情况下的时间复杂度就是 O(n²)。
这个平均时间复杂度推导过程不是很严格，但是很多时候很实用，毕竟概率论的定量分析太复杂，不太好用。
插入排序（Insertion Sort）
我们先来看一个问题。一个有序的数组，我们往里面添加一个新的数据后，如何继续保持数据有序呢？很简单，我们只要遍历数组，找到数据应该插入的位置将其插入即可。
这是一个动态排序的过程，即动态的往有序集合中添加数据，我们可以通过这种方法继续保持集合中的数据一直有序。而对于一组静态数据，我们也可以借鉴上面讲的插入方法，来进行排序，于是就有了插入排序算法。
那插入排序具体是如何借助上面的思想来实现排序的呢？
首先，我们将数组中的数据分为两个去见，已排序区间和未排序区间。初始已排序区间只有一个元素，就是数组的第一个元素。插入算法的核心思想就是取未排序区间中的元素，在已排序区间中找到合适的插入位置将其插入，并保证已排序区间数据一直有序。重复这个过程，直到未排序区间元素为空，算法结束。
如图，要排序的数据是4，5，6，1，3，2，其中左侧为已排序空间，右侧是未排序空间。
插入排序也包含两种操作，一种是元素的比较，一种是元素的移动。当我们需要将一个新数据a插入到已排序空间时，需要拿a与已排序区间的元素依次比较大小，找到合适的插入位置。找到插入点之后，我们还需要将插入点之后的元素顺序往后移动一位，这样才能腾出位置给元素a插入。
对于不同的查找插入点方法（从头到尾、从尾到头），元素的比较次数是有区别的。但对于一个给定的初始序列，移动操作的次数总是固定的，就等于逆序度。
为什么说移动次数就等于逆序度呢？如下图，满有序度是 n*(n-1)/2=15，初始序列的有序度是5，所以逆序度是10。插入排序中，数据移动的个数总和也等于 10=3+3+4。
结合代码看
// 插入排序，a表示数组，n表示数组大小
public void insertionSort(int[] a, int n) {
if (n <= 1) return;
for (int i = 1; i < n; ++i) {
int value = a[i];
int j = i - 1;
// 查找插入的位置
for (; j >= 0; --j) {
if (a[j] > value) {
a[j+1] = a[j]; // 数据移动
} else {
break;
}
}
a[j+1] = value; // 插入数据
}
}同样，这里有三个问题
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插入排序是原地排序算法吗？
从实现过程可以很明显的看出，插入排序算法的运行并不需要额外的存储空间，所以空间复杂度是O(1)，也就是说，这是一个原地排序算法。
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插入排序是稳定的排序算法吗？
在插入排序中，对于值相同的元素，我们可以选择将后面出现的元素，插入到前面出现元素的后面，这样就可以保持原有的前后顺序不变，所以插入排序是稳定的排序算法。
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插入排序的时间复杂度是多少？
如果要排序的数据是有序的，我们并不需要搬移任何数据。如果我们从尾到头在有序数组里面查找插入位置，每次只需要比较一个数据就能确定插入的位置。所以这种情况下，最好时间复杂度为o(n)。注意，这里是从尾到头遍历已经有序的数组。
如果数组是倒序的，每次插入都相当于在数组的第一个位置插入新的数据，所以需要移动大量的数据，所以最坏情况时间复杂度为O(n²)。
我们在数组中插入一个数据的平均时间复杂度是O(n)，所以，对于插入排序来说，每次插入操作都相当于在数组中插入一个数据，循环执行n次插入操作，所以平均时间复杂度为O(n²)。
选择排序（Selection Sort）
选择排序算法的实现思路有点类似插入排序，也分已排序区间和未排序区间。但是选择排序每次会从未排序区间中找到最小的元素，将其放到已排序的末尾。
照例，引出三个问题，不过前面两种排序算法已经分析得很详细了，这里就直接公布答案。
首先，选择排序空间复杂度为 O(1)，是一种原地排序算法。选择排序的最好情况时间复杂度、最坏情况和平均情况时间复杂度都为O(n²)。
那选择排序是稳定的排序算法吗？答案是否。从前面的那张图中，可以看出，选择排序每次都要找到剩余未排序元素中的最小值，并和前面的元素交换位置，这样破坏了稳定性。
比如5，8，5，2，9 这样一组数据，使用选择排序算法来排序的话，第一次找到最小元素2，与第一个5交换位置，那第一个5和中间的5顺序就变了，所以就不稳定了。正是因此，相对于冒泡排序和插入排序，选择排序就稍微逊色了。
为什么插入排序要比冒泡排序更受欢迎
冒泡排序和插入排序的时间复杂度都是O(n²)，都是原地排序算法，为什么插入排序要比冒泡排序更受欢迎呢？
前面分析冒泡排序和插入排序的时候讲到，冒泡排序不管怎么优化，元素交换的次数是一个固定值，是原始数据的逆序度。插入排序是同样的，不管怎么优化，元素移动的次数也等于原始数据的逆序度。
但是，从代码实现上来看，冒泡排序的数据交换要比插入排序的数据移动要复杂，冒泡排序需要3个赋值操作，而插入只需要一个。
冒泡排序中数据的交换操作：
if (a[j] > a[j+1]) { // 交换
int tmp = a[j];
a[j] = a[j+1];
a[j+1] = tmp;
flag = true;
}
插入排序中数据的移动操作：
if (a[j] > value) {
a[j+1] = a[j]; // 数据移动
} else {
break;
}我们把执行一个赋值语句的时间粗略的计为单位时间（unit_time），然后分别用冒泡排序和插入排序对同一个逆序度是K的数组进行排序。用冒泡排序，需要K次交换操作，每次需要3个赋值语句，所以交换操作总耗时就是3*K单位时间，而插入排序中数据移动操作只需要K个单位时间。
虽然冒泡排序和插入排序在时间复杂度上是一样的，都是O(n²)，但是如果我们希望把性能优化到极致，那肯定首选插入排序。插入排序的算法思路也有很大的优化空间，如果对插入排序的优化感兴趣，可以看下希尔排序。
