数据结构与算法七：递归

理解“递归”

递归是一种应用非常广泛的算法（或者编程技巧）。之后我们要讲的很多数据结构和算法的编码实现都要用到递归，比如DFS深度优先搜索、前中后序二叉树遍历等等。

不过，别看说了这么多，递归本身可是一点儿都不“高冷”，咱们生活中就有很多用到递归的例子。

周末你带着女朋友去电影院看电影，女朋友问你，咱们现在坐在第几排啊？电影院里太黑了，看不清，没法数，现在你怎么办？

别忘了你是程序员，这可难不倒你，递归就开始派上用场了。于是你就问前面一排的人他是第几排，你想只要在他的数字上加一，就知道自己在哪一排了。但是，前面的人也看不清啊，所以他也是问他前面的人。就这样一排一排往前问，直到问到第一排的人，说我在第一排，然后再这样一排一排再把数字传回来。直到你前面的人告诉你他在哪一排，于是你就直到答案了。

这是一个非常标准的递归求解问题的分解过程，去的过程叫“递”，回来的过程叫“归”。基本上，所有的递归问题都可以用递推公式来表示。刚刚这个生活中的例子，我们用递推公式将它表示出来就是这样的：

f(n) = f(n-1) + 1 其中，f(1) = 1

f(n)表示你想知道自己在哪一排，f(n-1)表示前面一排所在的排数，f(1)表示第一排的人知道自己在第一排。有了这个递推公式，我们就可以很轻松的将它改为递归代码

int f(n) {
    if (n == 1) return 1;
    return f(n-1) + 1;
}

递归需要满足的三个条件

1. 一个问题的解可以分解为几个子问题的解

何为子问题？子问题就是数据规模更小的问题。比如，前面讲的电影院的例子，你要知道“自己在哪一排”的问题，可以分解为“前一排的人在哪一排”这样的一个子问题。

2. 这个问题与分解之后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样

比如电影院那个例子，你求解“自己在哪一排”的思路，和前面一排人求解“自己在哪一排”的思路，是一模一样的。

3. 存在递归终止条件

把问题分解为子问题，把子问题分解为子子问题，一层一层分解下去，不能存在无限循环，这就需要有终止条件。

如何编写递归代码

刚刚铺垫了这么多，现在我们来看，如何来写递归代码？写递归代码最关键的是写出递推公式，找到终止条件，剩下的将递推公式转化为代码就很简单了。

假如这里有n个台阶，每次可以跨1个台阶或者2个台阶，请问走这n个台阶有多少种走法？如果有7个台阶，你可以 2，2，2，1 这样子上去，也可以 1，2，1，1，2 这样子上去，总之走法有很多，那如何用编程求得总共有多少种走法呢？

我们仔细想下，实际上，可以根据第一步的走法把所有走法分为两类，第一类是第一步走了1个台阶，另一类是第一步走了2个台阶。所以n个台阶的走法就等于先走1阶后，n-1个台阶的走法，加上先走2阶后，n-2个台阶的走法

f(n) = f(n-1) + f(n-2)

有了递推公式，递归代码基本就完成了一半。我们再来看终止条件。当有一个台阶时，我们不需要再继续递归，就只有一种走法。所以f(1)=1。这个递归终止条件足够吗？我们可以用n=2，n=3这样比较小的数试验一下。

n=2时，f(2)=f(1)+f(0)。如果递归终止条件只有一个f(1)=1，那么f(2)就无法求解了。所以除了f(1)=1这一个终止条件外，还要有一个f(0)=1，表示走0个台阶有一种走法，不过这样子看起来就不符合正常的逻辑思维了。所以我们把f(2)=2作为一种终止条件，表示走2个台阶，有两种走法，异步走完或者分两步来走。

所以，递归终止条件就是f(1)=1，f(2)=2。这个时候，你可以再拿n=3，n=4来验证一下，这个终止条件是否足够并且正确。

我们把递归终止条件和刚刚得到的递推公式放到一起就是这样的

f(1) = 1;
f(2) = 2;
f(n) = f(n-1) + f(n+2)

有了这个公式，我们转化为递归代码就简单多了

int f(int n){
    if (n == 1) return 1;
    if (n == 2) return 2;
    return f(n-1) + f(n-2);''
}

写递归代码最关键就是找到如何将大问题分解为小问题的规律，并且基于此写出递推公式，然后再推敲终止条件，最后将递推公式和终止条件翻译成代码。

刚讲的电影院的例子，我们的递归调用只有一个分支，也就是说“一个问题只需要分解为一个子问题”，我们很容易能够想清楚“递”和“归”的每一个步骤，所以写起来、理解起来都不难。

但是，当我们面对的是一个问题要分解为多个子问题的情况，递归代码就没那么好理解了。

像第二个例子，人脑几乎没有办法把整个“递”和“归”的过程一步一步都想清楚。

计算机擅长做重复的事情，所以递归正和它的口味。而我们人脑更喜欢平铺直述的思维方式。当我们看到递归时，我们总想把递归平铺展开，脑子里就会循环，一层一层往下调，然后再一层一层返回，试图搞清楚计算机每一步都是怎么执行的，这样就很容易被绕进去。

对于递归代码，这种试图想清楚整个递和归过程的做法，实际上是进入了一个思维误区。很多时候我们理解起来比较吃力，主要原因是自己给自己制造了这种理解障碍。那正确的思维方式应该是怎样的呢？

如果一个问题A可以分解为若干子问题B、C、D，你可以假设B、C、D已经解决，在此基础上思考如何解决问题A。而且，你只需要思考问题A与子问题B、C、D两层直接的关系即可，不需要一层一层往下思考子问题与子子问题，子子问题与子子子问题之间的关系。屏蔽掉递归细节，这样理解起来就简单多了。

因此，编写递归代码的关键是，只要遇到递归，我们就把它抽象成一个递推公式，不用想一层层的调用关系，不要试图用人脑去分解递归的每个步骤。

递归代码要警惕堆栈溢出

在实际的软件开发中，编写递归代码时，我们会遇到很多问题，比如堆栈溢出。而堆栈溢出会造成系统性崩溃，后果非常严重。

在“栈”那一节讲过，函数调用会使用栈来保存临时变量。每调用一个函数，都会将临时变量封装为栈帧压入内存栈，等函数执行完成返回时，才出栈。系统栈或者虚拟机栈空间一般都不大。如果递归求解的数据规模很大，调用层次很深，一直压入栈，就会有堆栈溢出的风险。

比如前面讲到的电影院的例子，如果我们将系统栈或者JVM堆栈大小设置为1KB，在求解f(19999)时便会出现如下堆栈报错：

Exception in thread "main" java.lang.StackOverflowError

那么，如何避免堆栈溢出呢？

我们可以在代码中限制递归调用的最大深度的方式来解决这个问题，递归调用超过一定深度（比如1000）之后，我们就不继续往下再递归了，直接返回报错。还是电影院那个例子，我们可以改造成下面这个样子，就可以避免堆栈溢出了。

// 全局变量，表示递归的深度。
int depth = 0;

int f(int n) {
  ++depth；
  if (depth > 1000) throw exception;

  if (n == 1) return 1;
  return f(n-1) + 1;
}

但这种做法并不能完全解决问题，因为最大允许的递归深度跟当前线程剩余的栈空间大小有关，事先无法计算。如果实时计算，代码过于复杂，就会影响代码的可读性。所以如果最大深度比较小，比如10、50，就可以用这种方法，否则这种方法并不是很实用。

递归代码要警惕重复计算

除此之外，使用递归时还会出现重复计算的问题。刚才第二个递归代码的例子，我们分解一下整个过程：

从图中，我们可以直观的看到，想要计算f(5)，需要先计算f(4)和f(3)，而计算f(4)还需要计算f(3)，因此，f(3)就被计算了很多次，这就是重复计算的问题。

为了避免重复计算，我们可以通过一个数据结构（比如散列表）来保存已经求解过的f(k)。当递归调用到f(k)时，先看下是否已经求解过了。如果是，则直接从散列表中取值返回，不需要重复计算，这样就能避免刚讲的问题了。

按照上面的思路，我们来改造一下刚才的代码：

public int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;

  // hasSolvedList可以理解成一个Map，key是n，value是f(n)
  if (hasSolvedList.containsKey(n)) {
    return hasSolvedList.get(n);
  }

  int ret = f(n-1) + f(n-2);
  hasSolvedList.put(n, ret);
  return ret;
}

除了堆栈溢出、重复计算这两个常见的问题，递归代码还有很多别的问题。

在时间效率上，递归代码里多了很多函数调用，当这些函数调用的数量较大时，就会积聚成一个可观的时间成本。在空间复杂度上，因为递归调用一次就会在内存栈中保存一次现场数据，所以在分析递归代码空间复杂度时，需要额外考虑这部分的开销，比如我们前面讲到的电影院递归代码，空间复杂度并不是O(1)，而是O(n)。

怎么将递归代码改写为非递归代码

递归有利有弊，利是递归代码的表达力很强，写起来非常简洁；弊是空间复杂度高、有堆栈溢出的风险、存在重复计算、过多的函数调用会耗时较多等问题。所以，在开发过程中，我们要根据实际情况来选择是否需要用递归的方式来实现。

那我们是否可以把递归代码改写为非递归代码呢？比如刚才那个电影院的例子，我们抛开场景，只看f(x)=f(x-1)+1这个递推公式。

int f(int n) {
  int ret = 1;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    ret = ret + 1;
  }
  return ret;
}

同样，第二个例子可以改写：

int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;

  int ret = 0;
  int pre = 2;
  int prepre = 1;
  for (int i = 3; i <= n; ++i) {
    ret = pre + prepre;
    prepre = pre;
    pre = ret;
  }
  return ret;
}

笼统的讲，所有递归代码都可以改写为这种迭代循环的非递归代码。因为递归本身是借助栈来实现的，只不过我们使用的栈是系统或者虚拟机本身提供的，我们没有感知罢了。如果我们自己在内存堆上实现栈，手动模拟入栈、出栈过程，这样任何递归代码都可以改写成看上去不是递归代码的样子。

但是这种思路实际上是将递归改为了“手动”递归，本质没有变，而且也并没有解决前面讲到的某些问题，徒增了实现的复杂度。